Kategorije znanja u matematici

3. Proceduralno i konceptualno znanje

Definicije proceduralnog i konceptualnog znanja

Ovu klasifikaciju uvode Hiebert i Lefevre (1986):
„Konceptualno znanje najjasnije se karakterizira kao znanje bogato u odnosima. Možemo ga shvatiti kao mrežu znanja u kojoj se povezuju odnosi kao istaknuti dijelovi informacija. Odnose prožimaju pojedinačne činjenice i pravila, tako da su svi dijelovi informacija na neki način umreženi.“
„Proceduralno znanje, kako ga ovdje definiramo, sačinjeno je od dva različita dijela. Prvi dio se odnosi na formalni jezik, odnosno uporabu matematičkih simbola.... Drugi dio proceduralnog znanja sastoji se od pravila, algoritama ili postupaka kojima se rješava matematički zadatak. To su korak-po-korak instrukcije koje propisuju kako riješiti zadatak. Ključna značajka tih postupaka je da se provode unaprijed određenim linearnim slijedom.“

Prema Rittle-Johnson i Siegler (1998) konceptualno znanje se definira kao razumijevanje koncepata i pravila koja određuju neko područje i odnosa među njima. Proceduralno znanje definira se kao niz koraka potrebnih za rješavanje problema, a uključuje vještine, algoritme ili strategije.

Razvoj konceptualnog razumijevanja i proceduralnih vještina iterativan je proces, tj. razvijaju se uzastopno. Poboljšanje jednoga vodi do poboljšanja drugoga koje opet izaziva poboljšanje prvoga. Proceduralno i konceptualno znanje često su isprepleteni, čak se događa da konceptualno znanje postaje proceduralno ukoliko je dovoljno uvježbano.

Iz Principa i standarda za nastavu matematike (NCTM, 2000):
"Razvoj perfektnog znanja zahtijeva ravnotežu i vezu između konceptualnog razumijevanja i vještina računanja. S jedne strane, metode računanja koje su previše uvježbane bez razumijevanje se često zaboravljaju ili krivo pamte. S druge strane, razumijevanje bez tečnosti u računanju može sputavati proces rješavanja problema."
Jedan od najsnažnijih nalaza istraživanja jest da je konceptualno razumijevanje važna komponenta stručnosti, uz činjenično znanje i proceduralne vještine. Savez činjeničnog znanja, proceduralnih vještina i konceptualnog razumijevanja čini sve tri komponente korisnima na vrlo moćan način. Studenti koji pamtiti činjenice i postupke bez razumijevanja, često nisu sigurni kada i kako koristiti ono što znaju i takvo učenje je vrlo često krhko.“

Mjerenje (provjeravanje) proceduralnog i konceptualnog znanja

Konceptualno znanje

Proceduralno znanje

Što i kakvo?

razumijevanje činjenica, koncepata i pravila
bogato u odnosima (mreža znanja)
dubinsko (dolazi do izražaja kod neviđenih zadataka)

poznavanje niza koraka potrebnih za rješavanje problema
uključuje vještine, algoritme ili strategije
površinsko (dolazi do izražaja kod uvježbanih postupaka)

Kako se mjeri?

preporuča se korištenje različitih tipova zadataka:

obrazloži neku tvrdnju ili postupak
formuliraj (ili odaberi) definiciju koncepta
procijeni nepoznati postupak, primjer koncepta ili kvalitetu odgovora drugog učenika
koristi različite oblike prikaza
usporedi
kategoriziraj primjere, pojmove ili postupke
smisli "prečac" za neki postupak
uvjetna pitanja "što bi bilo kad bi..."

provjerava se praćenjem izvođenja zadanog postupka
učenik rješava tipične rutinske zadatke ili neki matematički problem
uspješnost se procjenjuje točnošću rezultata i brzinom rješavanja

Literatura:

Hiebert, J., & Lefevre, P. (1986). Conceptual and procedural knowledge in mathematics: An introductory analysis. In J. Hiebert (Ed.), Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics (pp. 1-27). Hillsdale, NJ: Erlbaum.
Rittle-Johnson, B., Schneider, M. (2013). „Developing conceptual and procedural knowledge of mathematics“. U: Cohen Kadosh, R., Dowker, A. (Eds.), Oxford handbook of numerical cognition, Oxford University Press.
National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: Author.
Rittle-Johnson, B., Siegler, R. S. (1998). The relation between conceptual and procedural knowledge in learning mathematics: A review. U: Donlan, C. (ed.), The Development of Mathematical Skills (75–110). London: Psychology Press.
Trupčević, G., Glasnović Gracin, D. (2014). „Što bi kad bi...?“ Metodički razlozi ZA upotrebu pogodbenih rečenica u matematičkim zadatcima. Matematika i škola, 74, 147-154.