Osnove matematičke logike
3. Složeni logički izrazi
Osnovne logičke operacije često se kombiniraju u složene.
Primjer:
Z=A·B+C·B
Znajući definicije i (ili) tablice istinitosti osnovnih logičkih operacija lako možemo napraviti tablicu istinitosti zadane složene logičke operacije.
Kod izrade tablice istinitosti složene logičke operacije potrebno je znati:
1. Prioritet izvršavanja osnovnih logičkih operacija i
2. Koliko različitih kombinacija postoji za zadan broj izjava
Prioritet izvršavanja osnovnih logičkih operacija
Kada imamo više logičkih operacija, a one nisu odvojene zagradama, najprije ćemo napraviti negaciju, zatim logičko množenje (I), a tek na kraju zbrajanje (ILI). Operacije istog prioriteta izvršavamo s lijeva na desno.
Broj kombinacija u složenoj logičkoj operaciji
Broj kombinacija ovisi o broju različitih izjava. Kako svaka izjava može poprimiti stanje 1 ili 0, postoji 2broj izjava različitih kombinacija.
Ako imamo 2 izjave (A i B) postoje 4 različite kombinacije "nula" i "jedinica".
U prethodnom primjeru imamo tri izjave (A, B, C), odnosno 8 kombinacija.
Postavlja se pitanje: kako popuniti početne vrijednosti u tablici istinitosti, a da budemo sigurni da smo uzeli u obzir sve kombinacije i da niti jednu nismo ponovili?
Za prethodni primjer početne kombinacije u tablici istinitosti popunjavamo ovako: Imamo tri izjave, što znači 8 kombinacija. Za popunjavanje prvog stupca prepolovimo broj kombinacija (8:2=4) i prvu polovicu (prve 4) popunimo nulama, dok drugu polovicu popunimo jedinicama.
U sljedećem stupcu (izjava B) prepolovimo onaj "prepolovljeni" broj iz prethodnog stupca (4:2=2). Sada popunjavamo stupac najprije sa dvije nule, pa dvije jedinice, pa dvije nule, dvije jedinice.
Zadnji stupac popunjavamo tako da kombiniramo nulu, pa jedinicu dok ne dođemo do kraja (opet smo broj 2 iz prethodnog stupca podijelili sa dva)
Ovo možda izgleda komplicirano kad se prvi puta čita, ali kad pogledate u tablici sve će vam postati jasno.
| A | B | C |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Za četiri izjave imamo 16 kombinacija. Prvi stupac popunjavamo sa osam nula i osam jedinica, a zatim opet za svaki sljedeći prepolovimo broj iz prethodnog stupca (Znači 8, pa 4, pa 2 i na kraju 1)
Idemo konačno napraviti tablicu istinitosti za naš primjer. Kako množenje ima veći prioritet od zbrajanja, ne možemo ići redom. Najprije moramo izračunati AB, zatim BC i tek na kraju zbrojiti dobivene rezultate. Slično kao u matematici, zar ne?
| A | B | C | AB | BC | AB+AC |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |