Presjek pravca i kružnice

Što ste vidjeli u geogebrinoj animaciji?

Moguća su tri slučaja:

pravac siječe kružnicu u dvjema točkama \( \Rightarrow \) sekanta
pravac s kružnicom ima točno jednu zajedničku točku \( \Rightarrow \) tangenta
pravac i kružnica nemaju zajedničkih točaka.

Zašto baš ta tri slučaja? O čemu to ovisi? Riješimo primjer, možda nam on pomogne da odgovorimo na postavljena pitanja.

Primjer:

Odredimo međusobni položaj pravca 2x + y - 9 = 0 i kružnice x² + y² - 7x - 9y + 20 =0.

Riješimo sustav ove linearne i kvadratne jednadžbe:

2x + y - 9 = 0

x² + y² - 7x - 9y + 20 =0

Izrazimo iz prve jednadžbe y, pa uvrstimo u kvadratnu:

y = -2x + 9 \( \Rightarrow \) x² + (-2x + 9)² - 7x - 9(-2x + 9) + 20 = 0

Nakon sređivanja ove jednadžbe dobivamo:

x² - 5x + 4 = 0

Rješenja su x₁ = 7 i x₂ = 4, odnosno y₁ = 7 i y₂ = 1

Ovaj pravac i kružnica se sijeku u točkama T₁(1, 7) i T₂(4, 1).

Možete li sada odgovoriti na postavljena pitanja, o čemu ovisi broj rješenja?