Otisni knjiguOtisni knjigu

Brojevni sustavi

Sjedište: CARNET - Arhiva 2021 Loomen
E-kolegij: Pripreme za ispit iz informatike na državnoj maturi
Knjiga: Brojevni sustavi
Otisnuo/la: Gost (anonimni korisnik)
Datum: nedjelja, 24. studenoga 2024., 13:58

Opis

Kratak pregled brojevnih sustava vezanih uz računalo

Sadržaj

1. Binarni, oktalni i heksadekadski brojevni sustav

Sva ova tri navedena brojevna sustava pripadaju u pozicijske brojevne sustave, što znači da mjesto znamenke u broju određuje njezinu vrijednost.

Svaki pozicijski brojevni sustav ima bazu i znamenke. Baza brojevnog sustava predstavlja broj znamenaka u tom sustavu. Najmanja znamenka svakog sustava je 0, dok je najveća znamenka za jedan manja od baze.

Brojevni sustavi vezani uz računalo su sustavi koji imaju veze sa brojem 2:

  • Binarni (baza 2)
  • Oktalni (baza 8 =>23)
  • Heksadekadski (baza 16 => 24)

Binarni brojevni sustav

Baza binarnog brojevnog sustava je 2. Znamenke su dvije: 0 i 1.

Kako broj 101 može biti broj u bilo kojem brojevnom sustavu, ukoliko nije u dekadskom i ne piše u kojem je sustavu, pored njega ćemo u indeks staviti bazu.

Primjer:

Broj 101 je broj u dekadskom brojevnom sustavu.
Broj 101(2) je broj u binarnom brojevnom sustavu.

Oktalni brojevni sustav

Baza oktalnog brojevnog sustava je 8.

Znamenke su: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7.

Primjer:

Broj 127 je broj u dekadskom brojevnom sustavu.
Broj 127(8) je broj u oktalnom brojevnom sustavu.

Heksadekadski brojevni sustav

Baza ovog brojevnog sustavu je 16

Znamenke su: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Kako bi u zapisu brojeva znali radi li se o znamenki, npr. 12 ili kombinaciji znamenaka 1 i 2, znamenke od 10 do 15 ćemo zapisivati velikim slovima A, B, C, D, E i F.

vrijednost

prikaz
10 A
11 B
12 C
13 D
14 E
15 F

1.1. Pretvorba dekadskog broja u broj u nekoj drugoj bazi

Pretvorba dekadskog broja u broj u nekoj drugoj bazi odvija se prema sljedećem pravilu:

  • Dekadski broj dijeli se s bazom.
  • Postupak se ponavlja sa svakim kvocijentom sve dok se ne dobije kvocijent 0.
  • Prilikom svakog dijeljenja nastaju ostaci (od 0 do b-1, gdje je b baza).
  • Zapisivanjem ostataka od posljednjeg prema prvom dobije se zapis dekadskog broja u traženoj bazi.

Primjer:

Pretvorba dekadskog broja u binarni, oktalni i heksadekadski

Napomena:

Pretvorba dekadskog broja u oktalni ili heksadekadski jednostavnija je preko binarnog brojevnog sustava.

1.2. Pretvorba broja u odabranoj bazi u dekadski broj

Pretvorba broja zapisanog u nekoj bazi u dekadski broj odvija se preko težinskih vrijednosti znamenaka. Svaka se znamenka pomnoži s potencijama baze, idući s desna na lijevo. Krajnja desna potencija je nula.  

Primjer:

Pretvorba broja zapisanog u nekoj bazi u dekadski broj

1.3. Decimalni brojevi

Pretvorba decimalnog dekadskog broja u broj u nekoj drugoj bazi odvija se prema u dva koraka:

  1. Najprije pretvorimo cijeli dio broja (dijeljenjem s bazom i pamćenjem ostataka)

    Zatim pretvorimo decimalni dio broja na sljedeći način:

  2. Decimalni dio broja množimo s bazom i zapisujemo znamenke lijevo od decimalne točke.
    Postupak nastavljamo sve dok ne dođemo do željene točnosti

Primjer 1:

Decimalni brojevi

Primjer 2:

Decimalni brojevi

Pretvorba brojeva u drugim bazama u dekadski broj

Kada realne brojeve u nekoj drugoj bazi želimo prikazati u dekadskom brojevnom sustavu, radimo preko težinskih vrijednosti (mjesta znamenki), s tim da od decimalnog zareza u lijevo mjesta kreću od 0 i pozitivna su, dok desno od decimalnog zareza mjesta kreću od -1 i negativna su.

Primjer:

1101.001(2)=1*23+1*22+0*21+1*20+0*2-1+0*2-2+1*2-3 = 8+4+1+0.125=13.125

15.1(8) = 1*81+5*80+1*8-1 = 8+5+0.125=13.125

 

1.4. Pretvorba oktalnog broja u binarni i obrnuto

Pretvorba oktalnog broja u binarni

Oktalni broj pretvorit ćemo u binarni tako da svaku oktalnu znamenku prikažemo pomoću tri binarne.

Kako znamo kojom kombinacijom binarnih znamenki ćemo zamijeniti određenu oktalnu znamenku?

Prikažimo oktalnu znamenku kao kombinaciju potencija broja 2. Na primjer, znamenku 5 možemo zapisati kao 1*22+0*21+1*20=101(2).

Svaku oktalnu znamenkuj možemo prikazati kao kombinaciju potencija 22, 21 i 20, odnosno vrijednosti 4, 2 i 1. Uz potencije može stajati binarna znamenka 0 ili 1.

Pogledajmo ponovo znamenku 5. Da bi od brojeva 4, 2 i 1 dobili broj 5, "trebamo" četvorku i jedinicu. (5=4+1). Dvojka nam "ne treba". Uz broj koji smo iskoristili stavimo binarnu znamenku 1, a uz one koje nismo stavimo nulu.

Tako dobijemo da je binarni prikaz oktalne znamenke 5 = 101(2).

Za znamenku 6 "trebaju" nam četvorka i dvojka (6=4+2). "Ne treba" nam jedinica. Dakle, 6=110(2).

Ovaj princip može se iskoristiti i za pretvorbu dekadskog broja u binarni.
Na primjer, za broj 37 trebamo iskoristiti potencije broja 2: 32 (25), 4 (22) i 1 (21). "Ne trebamo" 16, 8 i 2. Kad ih posložimo redom (32, 16, 8, 4, 2, 1) i uz njih stavimo jedinice ili nule dobijemo da je 37=100101(2).
Ovo je jednostavniji i brži način pretvorbe dekadskog broja u binarni. Nije potrebno toliko uzastopnih dijeljenja brojem dva!

Primjer:

Prikažimo oktalni broj 174 u binarnom brojevnom sustavu:
174(8)=001 111 100(2)

Pretvorba binarnog broja u oktalni

Binarni broj pretvaramo u oktalni tako da, krenuvši od desna na lijevo, odvajamo po tri binarne znamenke. Svaku skupinu od po tri binarne znamenke pretvorimo u jednu oktalnu znamenku. Ukoliko nam "nedostaje" binarnih znamenki, nadopunimo ih s lijeve strane broja. Za pretvorbu koristimo jednaku logiku kao i u prethodnoj pretvorbi.
Na primjer, 101(2)=4+1=5(8).

 

 

1.5. Pretvorba heksadekadskog broja u binarni i obrnuto

Pretvorba heksadekadskog broja u binarni

Heksadekadski broj pretvorit ćemo u binarni tako da svaku heksadekadsku znamenku prikažemo pomoću četiri binarne.

Kako znamo kojom kombinacijom binarnih znamenki ćemo zamijeniti određenu heksadekadsku znamenku?

Možemo koristiti istu logiku kao u oktalnom brojevnom sustavu. Prikažimo heksadekadsku znamenku kao kombinaciju potencija broja 2. Na primjer, znamenku 11 možemo zapisati kao 1*23+0*22+1*21+1*20=1011(2).

Primjer:

Prikažimo heksadekadski broj 174A u binarnom brojevnom sustavu:
174A(16)=0001 0111 0100 1010 (2)

Pretvorba binarnog broja u heksadekadski

Binarni broj pretvaramo u heksadekadski tako da, krenuvši od desna na lijevo, odvajamo po četiri binarne znamenke. Svaku skupinu od po četiri binarne znamenke pretvorimo u jednu heksadekadsku znamenku. Ukoliko nam "nedostaje" binarnih znamenki, nadopunimo ih s lijeve strane broja. Za pretvorbu koristimo jednaku logiku (i tablicu) kao i u prethodnoj pretvorbi. Na primjer, 1011(2)=8+2+1=11(16)=B.

Primjer:

Prikažimo binarni broj 100010001 u heksadekadskom brojevnom sustavu.

Uzmemo li skupine od po četiri znamenke naš broj sada izgleda ovako: 0001 0101 1001(2) (crvene znamenke su nadopunjene zbog nedostatka znamenaka). Zapišemo ispod svake skupine brojeve 8, 4, 2 i 1:

0 0 0 1   0 1 0 1   1 0 0 1
8 4 2 1   8 4 2 1   8 4 2 1
   1             5              9

U svakoj skupini zbrojimo one vrijednosti iznad kojih piše broj 1 i dobijemo rješenje:
101011001(2)=159(16).

 

2. Zbrajanje binarnih brojeva

Zbrajanje u binarnom sustavu provodi se jednako kao zbrajanje u dekadskom brojevnom sustavu, s tim da se prijenos pojavljuje već u situaciji kad zbrajamo znamenke 1 i 1. Jer 1+1=2, a znamenka 2 ne postoji u binarnom brojevnom sustavu.

Tako vrijedi:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 i 1 "dalje" (1 prijenos)

Primjer 1: Potrebno je binarno zbrojiti brojeve  1101110(2) i 10011(2).

 

Rješenje:        

1

1

1

1

1

1

 

 

prijenos

 

1

1

0

1

1

1

0

 

+

 

 

1

0

0

1

1

 

1

0

0

0

0

0

0

1

 

 

Provjera:

1101110(2)=

 

1

1

0

     10011(2)=

+

 

1

9

10000001(2) =

 

1

2

9

3. Pitanja s provedenih ispita

  1. (Ogledni primjerak testa za državnu maturu) Prikažite broj (BABA)16 u binarnom brojevnom sustavu.
     
  2. (Primjer testa za državnu maturu, 2008.) Što je od navedenoga binarni zapis dekadskoga broja 23.125?
     a) 11101.001
     b) 10111.1111101
     c) 10111.001
     d) 10111.1011111
     
  3. (Primjer testa za državnu maturu, 2008.) Heksadekadski prikaz nekog broja je 5A. Koji je dekadski ekvivalent tog broja?
     a) 510
     b) 45
     c) 90
     d) 180
     
  4. (Primjer testa za državnu maturu, 2008.) Koji je binarni prikaz broja 136(8) ?
     a) 10001000
     b) 11010110
     c) 111110
     d) 1011110
     
  5. (Probna državna matura, 2009.) Koji je dekadski zapis binarnoga broja 101,11?
    a) 5,75
    b) 3,75
    c) 5,3
    d) 3,3
     
  6. (Probna državna matura, 2009.) Koji je heksadekadski zapis dekadskoga broja 58?
    a) A3
    b) E2
    c) 3A
    d) 2E
     
  7. (Probna državna matura, 2009.) Koji je oktalni zapis binarnoga broja 1000100101?
    a) 4224
    b) 1045
    c) 549
    d) 1023
     
  8. (Probna državna matura, 2009.) Koji je binarni zapis broja (1234)16?

  9. (Državna matura, 2010, ljetni rok, zadatak 12)  Koji od brojeva nije zapis broja u oktalnome sustavu?
     a) 132
     b) 346
     c) 685
     d) 1011

  10. (Državna matura, 2010, ljetni rok, zadatak 13)  Koji je oktalni zapis heksadekadskoga broja 2345?
     a) 12505
     b) 21505
     c) 43212
     d) 50512
  11. (Državna matura, 2010, ljetni rok, zadatak 14)  Koji je binarni zapis heksadekadskoga broja BCDE?
     a) 1011110011011110
     b) 1011110110111110
     c) 1100101111011110
     d) 1110110111001011
  12. (Državna matura, 2010, ljetni rok, zadatak 31) Koji je binarni zapis broja (536B)16?

  13. (Državna matura, 2010, jesenski rok, zadatak 12) Koji je binarni zapis dekadskoga broja 6,75?
      a) 10,1001011
     b) 10,11
     c) 110,1001011
     d) 110,11
  14. (Državna matura, 2010, jesenski rok, zadatak 13) Koji je heksadekadski zapis binarnoga broja 1101011,01?
     a) D6,8
     b) 1AD
     c) 107,25
     d) 6B,4
  15. (Državna matura, 2010, jesenski rok, zadatak 14) Koji je binarni zapis oktalnoga broja 15?
     a) 1011
     b) 1101
     c) 1111
     d)10101
  16. (Državna matura, 2010, jesenski rok, zadatak 31) Koji je binarni zapis broja (9E7D)16?
  17. (Državna matura, 2011, ljetni rok, zadatak 13) Koji je heksadekadski zapis oktalnoga broja 2504?
     a) 254
     b) 445
     c) 452
     d) 544
  18. (Državna matura, 2011, ljetni rok, zadatak 14) Koji je oktalni zapis binarnoga broja 10101111001100?
     a) 25714
     b) 53630
     c) 2BCC
     d) 5363
  19. (Državna matura, 2011, ljetni rok, zadatak 15) Koji je broj u heksadekadskome sustavu neposredni sljedbenik heksadekadskoga broja 9F?
      a) 100
     b) 910
     c) A0
     d) A10
  20. (Državna matura, 2011, ljetni rok, zadatak 31) Koliko znamenaka „1” ima broj (920F)16 kada je zapisan u oktalnome brojevnome sustavu?
  21. (Državna matura, 2011, jesenski rok, zadatak 13) Koji je heksadekadski zapis oktalnoga broja 12674?
      a) CB51
      b) 15BC
      c) CBD
      d) DBC
  22. (Državna matura, 2011, jesenski rok, zadatak 14) Koji je oktalni zapis binarnoga broja 1101011100001?
     a) 6561
     b) 15341
     c) 65601
     d) 65604
  23. (Državna matura, 2011, jesenski rok, zadatak 15) Kako se u heksadekadskome obliku zapisuje neposredni prethodnik broja (200)16?
     a) 100
     b) 1FF
     c) 199
     d) 201
  24. (Državna matura, 2011, jesenski rok, zadatak 31) Koliko znamenaka „0” ima broj (3887)16 kada je zapisan u oktalnome brojevnome sustavu (ako se prilikom zapisivanja ne zapisuje vodeće nule)?
  25. (Državna matura, 2012, ljetni rok, zadatak 9) Koji je heksadekadski ekvivalent dekadskog broja 257?
     a) A01
     b) 101
     c) 110
     d) 10A
  26. (Državna matura, 2012, ljetni rok, zadatak 10) Koji je oktalni ekvivalent broja 1011,1101(2)?
     a) 13,61
     b) 13,64
     c) 51,61
     d) 51,64
  27. (Državna matura, 2012, ljetni rok, zadatak 23) Napišite dekadski zapis oktalnog broja 75,4.
  28. (Državna matura, 2012, ljetni rok, zadatak 25) Koji je heksadekadski zapis binarnog broja 110101101,11?
  29. (Državna matura, 2012, jesenski rok, zadatak 9) Koji je heksadekadski ekvivalent dekadskog broja 254?
     a) FE
     b) EF
     c) EE
     d) FF
  30. (Državna matura, 2012, jesenski rok, zadatak 10) Koji je binarni prikaz broja 765(8)?
     a) 111000111
     b) 101111101
     c) 101011111
     d) 111110101
  31. (Državna matura, 2012, jesenski rok, zadatak 11) Koji je rezultat zbrajanja binarnih brojeva 111101 i 101111?
     a) 1101100
     b) 1001100
     c) 1011101
     d) 1110111
  32. (Državna matura, 2012,jesenski rok, zadatak 23) Napišite binarni zapis dekadskog broja 17,375.
  33. (Državna matura, 2012, jesenski rok, zadatak 25) Koliko znamenaka „1” ima broj ED37(16) kada je zapisan u binarnom brojevnom sustavu?
  34. (Državna matura, 2013, ljetni rok, zadatak 9) Koji je heksadekadski zapis dekadskoga broja 40?
     a) 28
     b) 64
     c) 82
     d) 128
  35. (Državna matura, 2013, ljetni rok, zadatak 10) Koji je dekadski zapis binarnoga broja 101,11?
     a) 5,75
     b) 5,3
     c) 4,75
     d) 4,3
  36. (Državna matura, 2013, ljetni rok, zadatak 24) Koji je dekadski zapis oktalnoga broja 63,2?
  37. (Državna matura, 2013, ljetni rok, zadatak 25) Koji je heksadekadski zapis binarnoga broja 101010010100,01?
  38. (Državna matura, 2013, jesenski rok, zadatak 9) Koji je oktalni zapis heksadekadskoga broja 1A?
     a) 16
     b) 20
     c) 26
     d) 32
  39. (Državna matura, 2013, jesenski rok, zadatak 10) Koji je heksadekadski zapis binarnoga broja 10110110000,1?
     a) 5B0,1
     b) B60,8
     c) B6,1
     d) 5B0,8
  40. (Državna matura, 2013, jesenski rok, zadatak 24) Koji je binarni zapis oktalnoga broja 16,3?
  41. (Državna matura, 2013, jesenski rok, zadatak 25) Koji je dekadski zapis binarnoga broja 101101,01?
  42. (Državna matura, 2014, ljetni rok, zadatak 9) Koji je rezultat zbrajanja binarnih brojeva 1011101 i 1101110?
     a) 1001011
     b) 11001011
     c) 10110011
     d) 10111011
  43. (Državna matura, 2014, ljetni rok, zadatak 10) Koji je heksadekadski zapis broja 1100,1012?
     a) A,5
     b) C,5
     c) C,A
     d) 14,A
  44. (Državna matura, 2014, ljetni rok, zadatak 23) Napišite binarni zapis dekadskoga broja 26,125.
  45. (Državna matura, 2014, ljetni rok, zadatak 24) Koliko znamenaka „0” ima broj 9AC3(16) kada je zapisan u binarnome brojevnom sustavu?
  46. (Državna matura, 2014, jesenski rok, zadatak 9) Koji je rezultat zbrajanja binarnih brojeva 1101101 i 101010?
     a) 11000001
     b) 10000001
     c) 11010111
     d) 10010111
  47. (Državna matura, 2014, jesenski rok, zadatak 10) Koji je broj u heksadekadskome brojevnom sustavu točno dvostruko veći od dekadskoga broja 86?
     a) C
     b) AC
     c) CA
     d) 172
  48. (Državna matura, 2014, jesenski rok, zadatak 23) Napišite binarni zapis dekadskoga broja 19,375.
  49. (Državna matura, 2014, jesenski rok, zadatak 24) Koliko znamenaka „1” ima broj 4725(8) kada je zapisan u binarnome brojevnom sustavu?
  50. (2015, ljetni rok, zadatak 9) Koji je binarni zapis dekadskoga broja 29(10)?
    A. 1011
    B. 1101
    C. 10111
    D. 11101
  51. (2015, ljetni rok, zadatak 10) Koji je binarni zapis heksadekadskoga broja E01,3(16)?
    A. 111000000001,0011
    B. 11101,11
    C. 111000000001,11
    D. 110001,0011

  52. (2015, ljetni rok, zadatak 24) Koji je dekadski zapis oktalnoga broja 53,4(8)?

  53. (2015, ljetni rok, zadatak 25) Koji je heksadekadski zapis oktalnoga broja 25,2(8)?

  54. (2015, jesenski rok, zadatak 9) Koji je heksadekadski zapis dekadskoga broja 30(10)?
    A. E1
    B. 1E
    C. E
    D. 48

  55. (2015, jesenski rok, zadatak 10)Koji je binarni zapis dekadskoga broja 25,5(10)?
    A. 10011,1
    B. 11001,01
    C. 11001,1
    D. 10011,01

  56. (2015, jesenski rok, zadatak 24) Napišite oktalni zapis heksadekadskoga broja A3,8(16).

  57. (2015, jesenski rok, zadatak 25) Koji je heksadekadski zapis binarnoga broja 11111101011,101(2)?

  58. (2016., ljetni rok, zadatak 9) Koji je rezultat zbrajanja binarnih brojeva 1101011 i 10101110?
    A. 11001
    B. 10011001
    C. 100011001
    D. 110000100
  59. (2016., ljetni rok, zadatak 10) Kako glasi broj 1110,01112 zapisan u heksadekadskome brojevnom sustavu?
    A. 7,7
    B. E,E
    C. 7,E
    D. E,7

  60. (2016., ljetni rok, zadatak 12) Koji od navedenih brojeva ima najveću dekadsku vrijednost?
    A. 53(16)
    B. 1010001(2)
    C. 124(8)
    D. 82(10)

  61. (2016., ljetni rok, zadatak 23) Koji je binarni zapis dekadskoga broja 21,125?

  62. (2016., ljetni rok, zadatak 24) Koliko se puta pojavljuje niz znamenaka „011” u broju ABCD16 kada je zapisan u binarnome brojevnom sustavu?


3.1. Rješenja

  1. 1011101010111010
  2. C
  3. C
  4. D
  5. A
  6. C
  7. B
  8. 1001000110100
  9. C
  10. B
  11. A
  12. 101001101101011
  13. D
  14. D
  15. B
  16. 1001111001111101
  17. D
  18. A
  19. C
  20. 4 (111017)
  21. B
  22. B
  23. B
  24. 1
  25. B
  26. B
  27. 60.5
  28. 1AD,C
  29. A
  30. D
  31. A
  32. 10001,011
  33. 11 (1110110100110111)
  34. A
  35. A
  36. 51,25
  37. A94,4
  38. D
  39. D
  40. 1110,011
  41. 45,25
  42. B
  43. C
  44. 11010,001
  45. 8 (1001101011000011)
  46. D
  47. B
  48. 10011,011
  49. 7 (100111010101) 
  50. D
  51. A
  52. 43.5
  53. 15.4
  54. B
  55. C
  56. 243,4
  57. 7EB.A
  58. C
  59. D
  60. C
  61. 10101,001
  62. 2