Matematička logika

1. Uvod

Matematička je logika vezana za logiku, granu filozofije. Osnovni je pojam logike logički SUD – IZJAVA koja može biti istinita ili neistinita. 

Primjeri izjava:

• Imam 15 godina.
• Učenik (učenica) sam prvog razreda opće gimnazije.
• Informatika je obvezan predmet u prvom razredu gimnazije.
• 3 + 2 = 7.

Za svaku od prethodno navedenih rečenica možemo utvrditi jesu li istinite ili neistinite i to su izjave koje se mogu iskoristiti u logici.

2. Osnovne logičke operacije

U osnovne logičke operacije pripadaju logička operacija NE (negacija), logička operacija
I (konjunkcija) i logička operacija ILI (disjunkcija).
Kao što u aritmetičkim izrazima brojeve povezujemo aritmetičkim operatorima (+, –, *, /), u logici logičke varijable povezujemo logičkim operatorima.

Logičke operacije mogu se prikazati na tri načina:

• grafičkim simbolom logičkog operatora,
• matematičkim simbolima Booleove algebre i
• tablicom ulaznih i izlaznih (rezultantnih) stanja.

2.1. Konjunkcija (logičko množenje)

Logička operacija I (konjunkcija) uključuje dvije izjave i istinita je samo ako su obje izjave ISTINITE.

Postoji više načina označavanja logičkih operacija. Pošto logičku operaciju I nazivamo i logičko množenje, označavat ćemo ju znakom "·"

Tablica istinitosti definira istinitost cjelokupne logičke operacije zasnovane na istinitosti izjava uključenih u tu operaciju.

Tablica istinitosti logičke operacije I:

Grafički simbol:

2.2. Disjunkcija (logičko zbrajanje)

Izjava Z = A + B je istinita ako je istinita barem jedna od izjava A i B. Operaciju koja daje takve izlazne rezultate zovemo DISJUNKCIJA (ILI, OR, logičko zbrajanje).

Tablica istinitosti logičke operacije ILI izgleda ovako:

Grafički simbol:

2.3. Negacija – logički NE

Negacija je logička operacija koja uključuje jednu logičku izjavu i istinita je ako je početna izjava neistinita.

Tablica istinitosti negacije:

Grafički simbol:

2.4. Pitanja, vježbe i zadatci

1. Što je matematička logika?

2. Za sljedeće izjave odredi jesu li istinite ili nisu.
   a) Ljeto počinje 21. lipnja.
   b) Ljeto je najbolje godišnje doba.
   c) Informatika je najbolji predmet.
   d) Učim najmanje tri sata svaki dan.
   e) Maja je najljepša djevojka u Osijeku.

3. Koje su osnovne logičke operacije?

4. Napišite definiciju i tablicu istinitosti za osnovne logičke
   operacije.

5. Pronađite na internetu što je tautologija, a što kontradikcija.

3. Složeni logički izrazi

Osnovne logičke operacije često se kombiniraju u složene logičke izraze.
Na primjer, za logički izraz, znajući definicije i (ili) tablice istinitosti osnovnih logičkih operacija, lako možemo napraviti tablicu istinitosti zadanoga složenog izraza.
Kod izradbe tablice istinitosti složenoga logičkog izraza potrebno je poznavati prioritete osnovnih logičkih operacija – redoslijed njihova izvođenja. Kada imamo više logičkih operacija, a one nisu odvojene zagradama, najprije ćemo napraviti negaciju, zatim logičko množenje (I), a tek na kraju zbrajanje (ILI). Operacije istog prioriteta izvršavamo slijeva nadesno. Naravno, izraze u zagradama rješavamo prve.

3.1. Pojednostavljivanje složenih logičkih izraza

Osnovna pravila koja nam mogu pomoći u pojednostavljivanju logičkih izraza su:

De Morganovo pravilo:

Komutativnost:

Distributivnost:

3.2. Pitanja, vježbe i zadatci

1. Kako tvorimo složene logičke izraze?

2. Kod rješavanja složenih logičkih izraza potrebno je poznavati i primijeniti ispravan redoslijed logičkih operacija. Za osnovne logičke operacije I, ILI i NE napišite prioritet u
   redoslijedu izvođenja u složenim logičkim izrazima (1 za operaciju najvećeg prioriteta, 3 za operaciju najmanjeg prioriteta).

3. Napravite tablicu istinitosti za složene logičke izraze:
   

   

   Usporedite tablice istinitosti u zadatcima a i c te u zadatcima b i d.
   Usporedite i tablice istinitosti u zadatcima e i f kako biste uočili da je redoslijed izvršavanja logičkih operacija važan i da utječe na rezultat.

4. Primjenom osnovnih teorema Booleove algebre pojednostavnite sljedeće složene logičke izraze: