Kategorije znanja u matematici

1. Kategorije znanja - općenito

Dimenzije znanja - revidirana Bloomova taksonomija (Anderson i Krathwohl, 2001)

 Dimenzije znanja - primjena u fizici (De Jong i Ferguson-Hessler, 1996)

Literatura:

1. Anderson, L. W., Krathwohl, D. R., eds. (2001). A taxonomy for learning, eteaching, and assessing: a revision of Bloom’s taxonomy of educational objectives. NY: Addison Wesley Longman, Inc.
2. De Jong, T., Ferguson-Hessler, M. G. M. (1996). Types and qualities of knowledge. Educational Psychologist, 31(2), 105-113.

2. Neke podjele znanja u matematici

Relacijsko i instrumentalno (Skemp, 1976)

Relacijsko znanje - razumijevanje „što učiniti i zašto".
Instrumentalno znanje - poznavanje „pravila bez razloga".
Instrumentalno znanje podrazumijeva pamćenje puno većeg broja različitih i naoko nepovezanih pravila, dok se relacijsko znanje svodi na poznavanje nekoliko osnovnih principa i općenitijih pravila te na temelju tako „izgrađenih konceptualnih struktura" učenik u danom trenutku lako dolazi do konkretnog pravila koje mu je potrebno.

Strukturalno i operacionalno (Sfard, 1991)

Ova klasifikacija temelji se na ontološko-psihološkom pristupu, stavljajući naglasak na prirodu matematičkih subjekata (ontološki problem) te način na koji učenici shvaćaju matematičke pojmove (psihološka perspektiva).
Apstraktni pojmovi (npr. funkcija) mogu se pojmiti na dva različita načina:
strukturalno - matematičke pojmove se promatra kao objekte,
operacionalno - matematičke pojmove se promatra kao procese.
Strukturalna koncepcija znanja je statična, trenutna i temelji se na vizualizaciji. Operacionalna koncepcija znanja je dinamična, sekvencijalna i detaljna, ona uključuje procese nastajanja nekog pojma i odgovarajuće algoritme, podržana je verbalnim prikazom te prethodi strukturalnoj koncepciji.

Formalno, algoritamsko i intuitivno (Fischbein, 1993)

Formalna dimenzija znanja se odnosi na poznavanje aksioma, definicija, teorema i dokaza.
Algoritamska dimenzija znanja sastoji se od pravila i procedura za rješavanje problema te se odnosi na vještinu rješavanja matematičkih problema.
Intuitivna dimenzija je vrsta spoznaje koja se prihvaća izravno bez potrebe za dokazom, a obuhvaća ideje i uvjerenja o matematičkim pojmovima i mentalnim modelima koji se koriste za prikaz matematičkih pojmova i operacija.

Literatura:

1. Fischbein, E. (1993).  The interaction between the formal, the algorithmic and the intuitive components in a mathematical activity.  U: Biehler, R. and other (eds.), Didactics of mathematics as a scientific discipline (231-245), Dordrecht, The Netherlands: Kluwer.
2. Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics, 22, 1–36.
   
3. Skemp, R. R. (1976). Relational understanding and instrumental understanding. Mathematics Teaching, 77, 20-26.

3. Proceduralno i konceptualno znanje

Definicije proceduralnog i konceptualnog znanja

Ovu klasifikaciju uvode Hiebert i Lefevre (1986):
„Konceptualno znanje najjasnije se karakterizira kao znanje bogato u odnosima. Možemo ga shvatiti kao mrežu znanja u kojoj se povezuju odnosi kao istaknuti dijelovi informacija. Odnose prožimaju pojedinačne činjenice i pravila, tako da su svi dijelovi informacija na neki način umreženi.“
„Proceduralno znanje, kako ga ovdje definiramo, sačinjeno je od dva različita dijela. Prvi dio se odnosi na formalni jezik, odnosno uporabu matematičkih simbola.... Drugi dio proceduralnog znanja sastoji se od pravila, algoritama ili postupaka kojima se rješava matematički zadatak. To su korak-po-korak instrukcije koje propisuju kako riješiti zadatak. Ključna značajka tih postupaka je da se provode unaprijed određenim linearnim slijedom.“

Prema Rittle-Johnson i Siegler (1998) konceptualno znanje se definira kao razumijevanje koncepata i pravila koja određuju neko područje i odnosa među njima. Proceduralno znanje definira se kao niz koraka potrebnih za rješavanje problema, a uključuje vještine, algoritme ili strategije.

Razvoj konceptualnog razumijevanja i proceduralnih vještina iterativan je proces, tj. razvijaju se uzastopno. Poboljšanje jednoga vodi do poboljšanja drugoga koje opet izaziva poboljšanje prvoga. Proceduralno i konceptualno znanje često su isprepleteni, čak se događa da konceptualno znanje postaje proceduralno ukoliko je dovoljno uvježbano. 

Iz Principa i standarda za nastavu matematike (NCTM, 2000):
"Razvoj perfektnog znanja zahtijeva ravnotežu i vezu između konceptualnog razumijevanja i vještina računanja. S jedne strane, metode računanja koje su previše uvježbane bez razumijevanje se često zaboravljaju ili krivo pamte. S druge strane, razumijevanje bez tečnosti u računanju može sputavati proces rješavanja problema."
Jedan od najsnažnijih nalaza istraživanja jest da je konceptualno razumijevanje važna komponenta stručnosti, uz činjenično znanje i proceduralne vještine. Savez činjeničnog znanja, proceduralnih vještina i konceptualnog razumijevanja čini sve tri komponente korisnima na vrlo moćan način. Studenti koji pamtiti činjenice i postupke bez razumijevanja, često nisu sigurni kada i kako koristiti ono što znaju i takvo učenje je vrlo često krhko.“

Mjerenje (provjeravanje) proceduralnog i konceptualnog znanja

Literatura:

1. Hiebert, J., & Lefevre, P. (1986). Conceptual and procedural knowledge in mathematics: An introductory analysis. In J. Hiebert (Ed.), Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics (pp. 1-27). Hillsdale, NJ: Erlbaum.
2. Rittle-Johnson, B., Schneider, M. (2013). „Developing conceptual and procedural knowledge of mathematics“. U: Cohen Kadosh, R., Dowker, A. (Eds.), Oxford handbook of numerical cognition, Oxford University Press.
3. National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: Author.
4. Rittle-Johnson, B., Siegler, R. S. (1998). The relation between conceptual and procedural knowledge in learning mathematics: A review. U: Donlan, C. (ed.), The Development of Mathematical Skills (75–110). London: Psychology Press.
5. Trupčević, G., Glasnović Gracin, D. (2014). „Što bi kad bi...?“ Metodički razlozi ZA upotrebu pogodbenih rečenica u matematičkim zadatcima. Matematika i škola, 74, 147-154.