Brojevni sustavi

1. Uvod

Potreba za zapisivanjem brojeva javlja se s prvim civilizacijama.Usporedo s razvojem pisma razvijali i znakovi za zapisivanje brojeva.

Broj označava mjeru, količinu nečega i može biti zapisan na različite načine – arapskim brojevima, rimskim brojevima, …

Arapske znamenke

• pozicijski, kod kojih vrijednost znamenke ovisi o njezinome položaju unutar broja i
• nepozicijski u kojima znamenke imaju istu vrijednost, bez obzira na položaj unutar broja.

Primjer nepozicijskog brojevnog sustava je rimski zapis brojeva. Znamenke rimskog brojevnog sustava su I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500) i M (1 000), a brojevi između njih dobivaju se zbrajanjem ili oduzimanjem.

Primjer pozicijskog brojevnog sustava je arapski brojevni sustav. U broju 11 zapisanom u
arapskom brojevnom sustavu desna znamenka ima vrijednost 1, a lijeva ima vrijednost 10.

1.1. Nepozicijski brojevni sustavi

Kod nepozicijskog brojevnog sustava vrijednost znamenke ne ovisi o položaju unutar broja.Takav je rimski brojevni sustav. Primjenjivao se u Europi se do 12. st. Sastoji se od slijedećih znamenki:

                XC = C – X = 100 – 10 = 90

• ispred znamenke veće vrijednosti smije biti samo jedna znamenka manje vrijednosti:
• ispred znamenaka M i D može stajati samo C
• ispred znamenka C i L samo znamenka X
• ispred X i V samo znamenka I

ZADATAK:Sljedeće brojeve zapisane u rimskom brojevnom sustavu zapišite u arapskom.

          a) CXXI

2. Dekadski brojevni sustav

• prva znamenka 1 ima vrijednost 100
• druga znamenka 1 ima vrijednost 10
• treća znamenka 1 ima vrijednost 1

10⁰ = 1  znamenka jedinica

10¹ = 10  znamenka desetica

10² = 100  znamenka stotica

10³ = 1000  znamenka tisućica itd.

Na primjer

Ako imamo decimalni broj, znamenke desno od decimalne točke imaju također mjesnu vrijednost, ali je ona negativna potencija broja 10, npr. 10^-1,
10^-2, 10^-3, itd – desetinka, stotinka, …

Na ovom principu formirani su i drugi brojevni sustavi s različitima bazama. Svi su oni pozicijski i vrijedi:

• ako je baza nekog sustava B onda su znamenke tog sustava iz skupa od 0 do B-1
• ako je broj zapisan u sustavu s bazom B njegovu vrijednost dobivamo množenjem znamenka s rastućim potencijama broja B idući s desna prema lijevo (z₀ množimo s B⁰, z₁ množimo s B¹ itd) tj

3. Binarni brojevni sustav

Brojevni sustav s bazom 2 koji koristi znamenke Z = {0,1} zove se binarni brojevni sustav. To je osnovni brojevni sustav s kojim radi elektroničko računalo. Naime, aritmetičko logička jedinica i memorija računala izgrađene su od bistabila (bi = dva; stabilan = postojan, stalan) koji mogu poprimiti dva različita stabilna stanja: jedno označavamo znamenkom 0, a drugo znamenkom 1. 

Nizovima nula i jedinica prikazuju se svi brojevi, slova i posebni znakovi.

Kako broj 101 može biti broj u bilo kojem brojevnom sustavu, ukoliko nije u dekadskom i ne piše u kojem je sustavu, pored njega ćemo u indeks staviti bazu!

Primjer:
Broj 101 je broj u dekadskom brojevnom sustavu.
Broj 101₂ je broj u binarnom brojevnom sustavu.

S n znamenaka binarnog brojevnog sustava, moguće je prikazati 2ⁿ različitih binarnih brojeva. Naprimjer sa dvije znamenke možemo prikazati 4 različita broja:

00₂

01₂

10₂

4. Heksadekadski brojevni sustav

Binarni brojevi su zbog svoje dužine teški za pamćenje ili zapisivanje. Isto tako, u radu s dugačkim nizovima brojeva velika je vjerojatnost pogreške. Zbog kraćeg zapisivanja koristi se heksadekadski brojevni sustav. Baza heksadekadskoga brojevnog sustava 16. To znači da u tom sustavu treba biti 16 znamenki: Z = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}.
Kod zapisivanja znamenki većih od 9 nastaje slijedeći problem: kako možemo znati jesu li u zapisu broja 1015 korištene znamenke 10 i 15, ili 1, 0, i 15? Ili možda 1, 0, 1 i 5? Ili 10, 1 i 5? A znamo da vrijednost svake znamenke ovisi o položaju unutar broja, pa tako o tome ovisi i vrijednost samog broja.
Zbog toga znamenke od 10 do 15 zapisujemo velikim slovima A do F.
Na ovaj način u zapisivanju heksadekadskih brojeva koristimo slova A do F, a u preračunavanjima koristimo vrijednosti pojedinih znamenaka.

5. Pitanja, vježbe i zadatci

Proučite u udžbeniku osnovne pojmove vezane uz brojevne sustave i odgovorite na sljedeća pitanja:

1. Koja je razlika između pozicijskih i nepozicijskih brojevnih sustava?
2. Što znamo o brojevnom sustavu ako nam je poznata njegova baza?
3. Zbog čega je za računalo binarni brojevni sustav prihvatljiviji od dekadskog?
4. Navedite bazu i znamenke binarnoga brojevnog sustava.
5. Odredite težinu podcrtane znamenke u sljedećim brojevima: 87401₁₀, 1001101₂.
6. Navedite bazu i znamenke heksadekadskoga brojevnog sustava.