A što s racionalnim brojevima?

1. A što s racionalnim brojevima?

Kada binarni ili heksadekadski brojevi u svom zapisu sadrže i decimalnu točku (racionalni brojevi), postupak pretvorbe u dekadski brojevni sustav je jednak kao i kod brojeva bez decimalne točke. 

I tada pretvorbu radimo preko težinskih vrijednosti (mjesta znamenki), s tim da od decimalnog zareza u lijevo mjesta kreću od nule i pozitivna su, dok desno od decimalnog zareza mjesta kreću od minus jedan (-1) i negativna su.

Pretvorba decimalnog dekadskog broja u broj u nekoj drugoj bazi odvija se prema u dva koraka:

1. Najprije pretvorimo cijeli dio broja (dijeljenjem s bazom i pamćenjem ostataka) 

2. Zatim pretvorimo decimalni dio broja na sljedeći način:
   1. Decimalni dio broja množimo s bazom i zapisujemo znamenke lijevo od decimalne točke.
   2. Postupak nastavljamo sve dok ne dođemo do željene točnosti

Kod ostalih brojevnih sustava, način pretvorbe iz jednog sustava u drugi je jednak. Jedino je potrebno voditi računa o decimalnoj točki.

1.1. Pretvaranje binarnog broja s razlučnom točkom u dekadski brojevni sustav i obrnuto

Do sada smo naučili gotovo sve računske operacije s binarnim brojevima, naučili smo pretvarati dekadski broj u binarni i obrnuto. No ne znamo pretvarati decimalan broj u binarni i obrnuto.

Već smo rekli da je opći oblik broja zapisanog u binarnom brojevnom sustavu jednak

.

Binarni broj pretvaramo u dekadski tako da znamenke množimo sa potencijama baze, dakle broje 2. Potencije desno od razlučne točke biti će negativne.

Pogledajmo na primjeru:

 

Primjer 1:

Zapišimo binarni broj 1110.001₂ u dekadskom brojevnom sustavu.

Rješenje:

1110.001₂ = 2³ + 2² + 2¹ + 2^-3 = 8 + 4 + 2 + 1/8 = 14 + 0.125 = 14.125

Pogledajmo sada kako pretvoriti binaran broj sa razlučnom točkom u dekadski.

Postupak je slijedeći:

1. Cjelobrojni dio broja pretvorimo u dekadski na uobičajen način – uzastopnim dijeljenjem s brojem 2 i zapisivanjem ostataka.

2. Decimalan dio ćemo pretvoriti na slijedeći način:

• pomnožimo decimalni dio dekadskog broja s 2
• ako je dobiveni rezultat veći od 1, zapisujemo 1 iza decimalne točke
• ako je dobiveni rezultat manji od 1, zapisujemo 0 iza decimalne točke
• postupak se ponavlja s dijelom umnoška iza decimalne točke  do željene točnosti.

 

Primjer 2:

Zapišimo dekadski broj 10.625 u binarnom brojevnom sustavu

Rješenje:

Pretvorimo prvo cjelobrojni dio broja:

 

Dakle binarni zapis broja 10 je 1010₂.

Decimalni dio broja 10.625 je 0.625. Pretvorimo ga binarni:

0.625   2 = 1.250    →      1010.1₂

0.25   2 = 0.50        →     1010.10₂           

0.5   2 = 1.0            →       1010.101₂        

 

Često će se dogoditi da ni nakon velikog broja koraka nećemo moći dobiti da je decimalni dio broj jednak 0. Odnosno decimalan broj se neće moći prikazati u binarnom sustavu u konačnom broju znamenaka. Što znači da se decimalni brojevi u računalu prikazuju samo kao približni.

1.2. Zadaci za vježbu

1. Sljedeće binarne brojeve s decimalnom točkom zapišite u dekadskom brojevnom sustavu:

a) 10.1₂

b) 100.01₂

c) 110.110₂

d) 1001.101₂

e) 110.110011₂

f) 1.11111₂

 

Rješenje:

a) 10.1₂ = 2¹ + 2^-1 = 2 + 1/2  = 2 + 0.5 = 2.5

b) 100.01₂ = = 2² + 2^-2 = 4 + 1/4 = 4 + 0.25 = 4.25

 

c) 110.110₂ = 2² + 2¹ + 2^-1 + 2^-2 = 4 + 2 + 1/2 + 1/4 = 6 + 0.5 + 0.25 = 6.75

 

d) 1001.101₂= 2³ + 2⁰ + 2^-1 + 2^-3 = 8 + 1 + 1/2 + 1/8 = 9 + 0.5 + 0.125 = 9.625

 

e) 110.110011₂ = 2² + 2¹ + 2^-1 + 2^-2 + 2^-5 + 2^-6 = 4 + 2 + 1/2 + 1/4 +  1/32 + 1/64= 6 + 0.5 + 0.25 + 0.03125 +0.015625 = 6.796875

 

f) 1.11111₂ = 2⁰ + 2^-1 + 2^-2 + 2^-3 + 2^-4 + 2^-5  = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 = 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 + 0.03125 = 1.96875

2. Sljedeće brojeve s decimalnom točkom zapisane u dekadskom brojevnom sustavu zapišite u binarnom brojevnom sustavu (za decimalni dio koristite najviše 5  decimalnih znamenaka).

a) 3.5

b) 10.25

c) 120.625

d) 175.38

e) 199.99

f) 255.255

Rješenje:

1.3. Još malo zadataka :)

1. Zapišimo dekadski broj 5.4 u binarnom brojevnom sustavu.

Rješenje:

5 = 1012

0.4 ∙ 2 = 0.8  → 101.02

0.8 ∙ 2 = 1.6  → 101.012

0.6 ∙ 2 = 1.2  → 101.0112

0.2 ∙ 2 = 0.4  → 101.01102

0.4 ∙ 2 = 0.8  → 101.011002

0.8 ∙ 2 = 1.6  → 101.0110012

0.6 ∙ 2 = 1.2  → 101.01100112

c) 7.74

Rješenje:

     

1.4. Malo primjera s heksom

1. Pretvori u binarni brojevni sustav brojeve:

a) 6.B₁₆

b) D1.9₁₆

c) A0.3₁₆

d) A.BC₁₆

e) 6D.3₁₆

Rješenje:

a) 6.B₁₆ = 110.1011₂

b) D1.9₁₆ = 11010001.1001₂

c) A0.3₁₆ = 10100000.0011₂

d) A.BC₁₆ = 1010.10111100₂

e) 6D.3₁₆ = 0110 1101.0011 = 1101101.0011₂

2. Pretvori u heksadekadski brojevni sustav brojeve

a) 1101.01₂

b) 111011.1011₂

c) 10110010.11₂

d) 10110010.01₂

Rješenje:

a) 1101.01₂ =  D.4₁₆

b) 111011.1011₂ = 3B.B₁₆

c) 10110010.11₂ =  B2.C₁₆

d) 10110010.01₂ = 1011 0010.0100 = B2.4₁₆ 

1.5. Tablica negativnih potencija

1.6. Zadaci za vježbu

1. Opišite postupak pretvorbe decimalnog dekadskoga broja u binarni i heksadekadski brojevni sustav.
   
   
2. Na koji način se decimalni binarni i heksadekadski brojevi pretvaraju u dekadski brojevni sustav?
   
   
3. Kako heksadekadski broj s decimalnom točkom prikazujemo u binarnome brojevnom sustavu?
   
   
4. Binarne brojeve 101.101₂, 111011.11₂ i 0.111₂ prikažite u dekadskom brojevnom sustavu.  
   
   
5. Heksadekadske brojeve A.BC₁₆, 101.1₁₆ i 12.A₁₆ prikažite u dekadskom brojevnom sustavu.
   
   
6. Što je od navedenoga binarni zapis dekadskoga broja 23.125

      7. Koji je od sljedećih brojeva binarni zapis dekadskoga broja 6,75?
          a) 10,1001011
          b) 10,11
          c) 110,1001011
          d) 110,11

    8. Prikažite realni broj 279.625 binarno i heksadecimalno.

    9. Prikažite realni broj 147,75 u binarnom i heksadekadskom sustavu.

    10. Prikažite realni broj 190.3125 binarno!

    11. Popunite tablicu: 

         
    12. Popunite tablicu: