Primjena matematičke logike

1. Složeni logički izrazi

Primjenom logičkih operacija dobivamo nove logičke izraze koje možemo promatrati kao nove varijable kojima pridjeljujemo odgovarajuće simbole. Tako možemo pisati:

Kombiniranjem više jednostavnih izraza možemo kreirati složene izraze, recimo

Za određivanje vrijednosti ove funkcije treba nam pet logičkih operacija: dva puta logičko NE, dva puta logičko ILI i jednom logičko I. Vrijednost određujemo primjenom tablica istinitosti. Kod izrade tablice istinitosti složenoga logičkog izraza potrebno je poznavati prioritete osnovnih logičkih operacija – redoslijed njihova izvođenja. Kada imamo više logičkih operacija, a one nisu odvojene zagradama, najprije ćemo napraviti negaciju, zatim logičko množenje (I), a tek na kraju logičko zbrajanje (ILI). Operacije istog prioriteta izvršavamo slijeva nadesno. Naravno, izraze u zagradama rješavamo prve.

1.1. Tablice istinitosti složenih izraza

Napišimo tablicu istinitosti za složeni izraz .

Sve moguće ishode dobijemo tako da izraz rastavimo na manje dijelove

Dakle ovaj izraz je istinit kada je A = 0 i B = 1 (što kraće pišemo kao uređeni par (0, 1)) i kada je A = 1, a B = 0. Izraz je lažan kada su ulazne varijable međusobno jednake, dakle za uređene parove (0, 0) i (1, 1).

Pogledajmo tablicu istinitosti za izraz

Ovaj izraz ima istu tablicu istinitosti kao i prethodni pa kažemo da su ekvivalentni tj. vrijedi

Obzirom da se ovakav logički izraz često pojavljuje dobio je naziv isključivo ILI (eng. exclusive OR ili XOR) i piše se

Kao što smo za prošla dva primjera odredili tablice istinitosti tako možemo napraviti tablice istinitosti za sve složene izraze.

1.2. Tautologija i kontradikcija

TAUTOLOGIJA je složeni sud koji je uvijek istinit bez obzira na vrijednost logičkih varijabl.

Primjer: Pokažite tablicom istinitosti da je dolje napisan izraz tautologija!

Rješenje:

1.3. Zadaci za vježbu

Sljedeće zadatke prepišite i riješite u svoje bilježnice:

1. Odredite istinitost slijedećih logičkih sudova:

          a) Prvi dan u novoj godini je 1. siječnja.

          b) 2 > 3

          c) Drugi naziv za sadašnje vrijeme u hrvatskom jeziku je prezent.

          d) Veljača uvijek ima 28 dana.

          e) Brzina tijela jednaka je omjeru prijeđenog puta i vremena.

2. Koje vrijednosti može poprimiti logička varijabla?

3. Koje su osnovne logičke operacije i kojim operatorima ih označavamo?

4. Napravi tablicu istinitosti za sljedeće izraze:

5. Za koliko je ulaznih kombinacija varijabli A, B i C je dolje napisani izraz lažan?

Napomena: Pazite ovdje imate tri varijable i 8 mogućih kombinacija varijabli. Evo pomoć 😊